08.10.2012

Harmonie #04 - Reine Intervalle

Kommen wir heute zu den Intervallen. Da dieses Thema recht umfangreich geworden ist, habe ich es in zwei Posts aufgeteilt. Das erste behandelt, von den Obertönen ausgehend, die Entwicklung der reinen Intervalle, das zweite Post die Entwicklung der gleichstufigen Stimmung und deren Bedeutung für die Intervalle.

Unter Intervallen versteht man den Abstand zweier Töne von einander. Sie sind die Grundbausteine der Harmonik. Sie entscheiden darüber wie harmonisch (»konsonant«) oder unharmonisch (»dissonant«) zwei Töne zusammen klingen. Hier in der Abbildung sind die Intervalle auf den Ton C (gelb) bezogen, weil man die Zusammenhänge so am besten sehen kann. Intervalle lassen sich natürlich auch von jedem anderen Ton aus messen.

Stufen der Tonleiter


In der Abbildung erkennt man, woher die Intervalle ihre Namen haben. Sie sind nämlich von den Stufen der Tonleiter hergeleitet. Die Stufen einer Tonleiter kennzeichnet man oft mit römischen Zahlen, so auch hier. Bei der ersten Stufe, der »Prime« (lat. prima: die Erste), ist der Abstand der beiden Töne null (folglich klingen bei der Prime keine zwei verschiedenen Töne zusammen). Die »Sekunde« (lat. secunda, die Zweite) kennzeichnet den Abstand von der ersten zur zweiten Stufe, die »Terz« (lat. tertia: die Dritte) den zur dritten Stufe usw. bis zur »Oktave« (lat. octava, die Achte). Größere Intervalle haben nur noch vereinzelt einen eigenen Namen, wie z.B. »Dezime« (lat. decima: die Zehnte).

Es ist dir wahrscheinlich schon aufgefallen, dass es von manchen Intervallen »große« und »kleine« gibt, z.B. bei der Terz. Bei anderen Intervallen, z.B. der Quinte, gibt es das nicht. Das liegt daran, dass bei Dur- und Moll-Tonleitern die Abstände der Stufen unterschiedlich sind. Bei Dur-Tonleitern gibt es die »große Terz« C–E, bei Moll-Tonleitern die »kleine Terz« C–Es. In einer Dur- oder Moll-Tonleiter kommt jede Stufe nur ein Mal vor, entweder als großes oder als kleines Intervall.

Einige Stufen unterscheiden sich aber nicht zwischen Dur- und Moll-Tonleitern. Das sind die Prime (ist ja logisch), die Quarte, die Quinte und die Oktave. Deshalb gibt es von denen keine große und kleine Version.

Eine Besonderheit stellt der »Tritonus« zwischen der IV. und V. Stufe dar. Er kommt als Tonleiter-Stufe in keiner Dur- und Moll-Tonleiter vor (wohl gemerkt: als Stufe bezogen auf den Grundton, hier C; als Intervall kommt er doch vor, z.B. zwischen F und H der Dur-Tonleiter). Deshalb heißt er auch nicht »kleine Quinte« oder »große Quarte« (Quinte und Quarte gibt es ja schon in der Tonleiter). Je nach musikalischem Zusammenhang nennt man dieses Intervall stattdessen auch »verminderte Quinte« oder »übermäßige Quarte«.

Wie du in der Abbildung siehst, misst man Intervalle nicht nur nach oben, zu den höheren Tönen hin. Man kann natürlich ebenso gut nach unten messen – allerdings stimmen dann die Namen der Intervalle nicht mehr mit den Tonleiterstufen überein.

Halbtonschritte


In der Praxis messen wir die Abstände zweier Töne auch oft in Halbtonschritten – abgekürzt »HT«. Die große Terz C–E hat beispielsweise eine Abstand von 4 Halbtonschritten – nicht etwa 3 HT, wie der Name Terz vermuten lässt – und auch nicht 3 Stufen, denn E ist zwar die 3. Stufe der C-Dur-Tonleiter hat aber einen Abstand von 3–1=2 Stufen. Man kann also vom Namen des Intervalls nicht auf den Abstand in Halbtonschritten schließen, man muss es sich einfach merken.

Eine Oktave hat einen Abstand von 12 Halbtonschritten. Das ist dann auch der Abstand zwischen dem ersten und dem letzten Ton der Tonleiter. Die Halbtonschritt-Größen der verschiedenen Intervalle kannst du der Abbildung entnehmen. Ich möchte nochmals betonen, dass sich die Namen der Intervalle zwar aus den Stufen der Tonleiter entwickelt haben, aber Intervalle nicht an die Stufen einer Tonleiter gebunden sind. Sie lassen sich zwischen beliebigen Tönen messen und angeben.

Was macht das in Cent?


Bei der heute üblichen »gleichstufigen Stimmung« ist jeder Halbtonschritt gleich groß. Manchmal ist ein Halbtonschritt aber eine zu grobe Einteilung. In einer »reinen« Stimmung sind die Halbtonschritte beispielsweise nicht gleich groß und man möchte auch dort die Größe eines Intervalls genau angeben können. Zu diesem Zweck hat man die Einheit »Cent« eingeführt – abgekürzt »¢«, »c« oder »C« (kommt von lat. centum: hundert). Man teilt eine Oktave in genau 1200 Cent. (Eine Okave ist also sozusagen 12 Euro wert.) Damit hat ein Halbton der gleichstufigen Stimmung genau 100 Cent, denn:

1200 Cent : 12 HT = 100 Cent pro HT

Die Abkürzung »HT« verwende ich in diesen Posts nur dann, wenn es sich um einen Halbton der gleichstufigen Stimmung handelt. Bei mir ist also immer 1 HT = 100 Cent. Das ist aber keine allgemeine Festlegung, an die sich alle halten.

Hier nochmals die Intervalle der gleichstufigen Stimmung in tabellarischer Form:

Prime=0 HT=0 Cent
kleine Sekunde=1 HT=100 Cent
große Sekunde=2 HT=200 Cent
kleine Terz=3 HT=300 Cent
große Terz=4 HT=400 Cent
Quarte=5 HT=500 Cent
Tritonus=6 HT=600 Cent
Quinte=7 HT=700 Cent
kleine Sexte=8 HT=800 Cent
große Sexte=9 HT=900 Cent
kleine Septime=10 HT=1000 Cent
große Septime=11 HT=1100 Cent
Oktave=12 HT=1200 Cent

Ich hatte gesagt, dass wir die Physik einstweilen hinter uns lassen. Aber das ist jetzt ja Mathematik und Musik hat viel mit Mathematik zu tun. Wir werden also auch in Zukunft nicht ganz ums Rechnen herum kommen. Hier – für diejenigen, die es interessiert – also noch ein bisschen Mathe:


Wir hatte ja bereits in einem vorausgegangenem Post festgestellt, dass sich die Frequenz eines Tons in einer Okatve genau verdoppelt. Die Oktave entspricht also einem Faktor 2. Möglicherweise interessiert es dich, wie groß 1 HT oder 1 Cent als Faktor eigentlich ist. Das kann man berechnen:   

Wenn man mit 1 beginnt und dies dann 12 Mal mit der Größe eines Halbtonschritts multipliziert, muss 2 rauskommen: eine Oktave. Mathematisch kann man das so ausdrücken:

1 · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT = 2
oder kurz:
HT¹² = 2
Das kann man umformen in
HT = ¹²√2   (12. Wurzel aus 2)
und das ist 1,059463...

1 HT entspricht also einem Faktor von rund 1,06. Das heißt: Um die Frequenz eines Tons zu erhalten, der x Halbtonschritte höher als der ursprünliche Ton ist, muss man die Frequenz des ursprünglichen Tons x Mal mit 1,059463... multiplizieren. Beachte:

Um Halbtöne zu addieren, muss man die Frequenz multiplizieren.
Um Halbtöne zu subtrahieren, muss man die Frequenz dividieren.

Das liegt daran, das Intervalle mathematisch ein sogenanntes »logarithmisches« Maß darstellen. Bei einem »linearen« Maß wird bei gleichen Abständen in einem Diagramm ein bestimmter, immer gleicher Wert dazu addiert oder subtrahiert. Bei einem logarithmischen Maß wird ein Wert bei gleichen Abständen mit einen bestimmten, immer gleichen Betrag multipliziert oder dividiert. 

Für Cent kann man ganz ähnlich rechnen:
1 Cent¹²ºº = 2
1 Cent = ¹²ºº√2 (1200. Wurzel aus 2)
und das ist 1,0005777895...


Warum 12?


Warum teilt man eine Oktave eigentlich in 12 (Halbton)-Schritte? Warum nicht 10 – wäre mit 10 Fingern doch einfacher? Oder 7 – wie die verschiedenen Stufen einer Dur- oder Moll-Tonleiter? (Ja, es sind 7 verschiedene Stufen, denn die 8. entspricht ja wieder der 1. Stufe, nur eine Oktave höher.) Die Antwort darauf hat viel mit den Obertönen zu tun, die wir im letzten Post besprochen haben. Dazu müssen wir auch die geschichtliche Entwicklung betrachten. Vergessen wir also nun erst einmal unsere praktische gleichstufige Stimmung, denn die gibt es noch nicht so lange.

Begonnen hat wahrscheinlich alles, als Menschen festgestellten, dass es sich schön anhört, wenn bestimmte Töne zusammenpassen. Das ist sicher schon viele tausend Jahre her. Wir hatten ja bereits festgestellt, dass sich Obertöne in einem ganzzahligen Verhältnis zu ihrem Grundton befinden und dass es sich um so harmonischer anhört, je einfacher dieses Verhältnis ist. Erinnere dich an das Tortenteilen. Das haben die Menschen damals sicher auch schon bemerkt, auch ohne etwas von den physikalischen Hintergründen zu verstehen.

Entwicklung der Intervalle


Betrachten wir zunächst einmal die Obertöne und ihr Frequenzverhältnis. Im Diagramm sind bei (A) ein (beliebiger) Grundton und seine ersten 9 Obertöne aufgelistet. Sie sind als rote Striche auf der Frequenz-Achse eingezeichnet. Diese umfasst hier etwas mehr als 3 Oktaven (3600 Cent). Die Länge der Striche soll andeuten, dass die Obertöne zu den Höhen hin immer schwächer werden. Die jeweiligen Faktoren bezüglich der Frequenz des Grundtons sind ebenfalls zu jedem Oberton aufgeführt.


Uns interessiert jetzt allerdings nicht das Verhältnis der Obertöne zu ihrem Grundton, sondern viel mehr das Verhältnis der Obertöne untereinander. Wie wir sehen, werden die Obertöne zu den Höhen hin immer dichter. (B) zeigt das jeweilige Frequenz-Verhältnis eines Obertons zu seinem Vorgänger. Es entsteht eine regelmäßige Folge von Brüchen, die mit 2 (einer Oktave) beginnt. Die Brüche werden immer kleiner und kommen der 1 immer näher (erreichen sie aber nie). Diese Frequenz-Verhältnisse sind die Ausgangsbasis für die Intervalle.

Das folgende Diagramm zeigt nur noch 1 Oktave von 0 bis 1200 Cent. Die eben ermittelten Frequenz-Verhältnisse der ersten 5 Obertöne sind bei (C) vom Grundton ausgehend eingetragen (ich habe sie sozusagen zum Grundton hin verschoben). Wir stellen erstaunt fest, dass wir damit die Intervalle Oktave, Quinte, Quarte, große Terz und kleine Terz bestimmt haben.


Die folgenden Hörbeispiele beginnen immer mit dem Grundton (hier C), in den der jeweilige Intervall-Ton dann eingeblendet wird.

   reine Oktave (2:1)
   reine Quinte (3:2)
   reine Quarte (4:3)
   reine große Terz (5:4)
   reine kleine Terz (6:5)

Geht das vielleicht noch weiter so? Leider nein. Bei (D) siehst du, dass die Anbstände immer enger werden – zu eng für eine (normale) Tonleiter. Also überschlagen wir 7/6 und 8/7 (violett) und treffen auf 9/8. Das ist ein ausgezeichneter Kandidat für die große Sekunde, denn er ist vom Grundton exakt genauso weit weg wie die Quinte von der Quarte (orangefarbene Balken). Die kleine Sekunde können wir ganz ähnlich bestimmen: Bei 16/15 hat sie vom Grundton den gleichen Abstand wie die Quarte von der großen Terz (hellblaue Balken).

   überschlagenes reines Intervall (7:6)
   überschlagenes reines Intervall (8:7)
   reine große Sekunde (9:8)
   reine keine Sekunde (16:15)

Jetzt fehlt und nur noch die »rechte Hälfte«. Die passenden Intervalle erhalten wir bei (E), indem wir die bisher bestimmten Intervalle von der Oktave aus nach unten auftragen (grün):
Oktave – kleine Sekunde = große Septime (2/1 : 16/15 = 15/8)
Oktave – große Sekunde = kleine Septime (2/1 : 9/8 = 16/9)
Oktave – kleine Terz = große Sexte (2/1 : 6/5 = 5/3)
Oktave – große Terz = kleine Sexte (2/1 : 5/4 = 8/5)
Oktave - Quarte = Quinte (2/1 : 4/3 = 3/2)

   reine kleine Sexte (8:5)
   reine große Sexte (5:3)
   reine kleine Septime (16:9)
   reine große Septime (15:8)

Wie du siehst haben wir inzwischen den größten Teil der Intervalle mehr oder weniger regelmäßig verteilt. Nur in der Mitte klafft noch eine Lücke. Wenn wir von der Quarte aus eine kleine Sekunde nach oben abtragen und von der Quinte eine kleine Sekunde nach unten, dann treffen sich beide nicht an der gleichen Stelle, wie du bei (F) sehen kannst (blaue Striche und hellblaue Balken). Wenn man nachrechnet, wird man sich für 45/32 entscheiden, denn dieser Abstand kommt bereits vor:
große Septime – Quarte = Tritonus (15/8 : 4/3 = 45/32)

   Tritonus, übermäßige Quarte (45:32)
   Ges, verminderte Quinte (64:45)

Die reine Stimmung


Das Endergebnis kannst du nun bei (G) betrachten. Wir haben die Oktave nun von den Obertönen ausgehend in einigermaßen gleich große Teile zerlegt – und es sind genau 12! Da sind nun unsere 12 Halbtonschritte! Die Abstände der Intervalle sind allerdings nicht alle gleich. Wenn wir genauer hinsehen, stellen wir fest, dass es 3 verschiedene Abstandsgrößen gibt (hellblau, gelb und hellgrün).

»Diatonischer Halbton« (hellblau):
eine kleine Sekunde,
Größe: 16/15 = 111,731... Cent = ca. 112 Cent.

Großer chromatischer Halbton« (gelb):
der Abstand zwischen großer und kleiner Sekunde,
Größe: 9/8 : 16/15 = 135/128 = 92,179... Cent = ca. 92 Cent.

Kleiner chromatischer Halbton« (hellgrün):
der Abstand zwischen großer und kleiner Terz und Sexte,
Größe: 5/4 : 6/5 = 25/24 = 70,672... Cent = ca. 71 Cent.

Dass es genau 12 Schritte sind, ist also nicht von irgend Jemandem bestimmt worden, aber es ist auch kein Zufall. Es liegt im Wesen der Zahlen selbst. Würde man z.B. versuchen, die Oktave mittels der Obertöne in 10 oder 7 einigermaßen gleiche Teile zu teilen, wäre die Verteilung sehr viel unregelmäßiger als mit 12. Die 12 ist dafür eben die optimale Zahl (und sie ist ja auch sonst eine »freundliche« Zahl, weil sie sich so problemlos durch 2, 3, 4 und 6 teilen lässt).

Gehen wir jetzt einen Schritt weiter und verknüpfen die Intervalle mit Tönen. Fangen wir mit C auf der Prime an. Bei (H) siehst du, wie dann die Töne den Intervallen zugeordnet sind. Ich könnte jetzt wieder anmerken: Das geht natürlich auch von jedem anderen Ton aus, aber diesmal stimmt das nicht so ganz, wie wir noch sehen werden.


Bei genauerem Hinsehen können wir feststellen, dass es die »schwarzen Tasten«, also die Halbtöne zwischen C, D und E sowie G, A und H, fast alle als erniedrigte Töne notiert sind, also als Des, Es, As und B. Nur Fis macht die Ausnahme. Was ist denn mit den anderen erhöhten Tönen Cis, Dis, Gis und Ais? Und was mit dem Ges?

Die schwarzen Tasten


Schauen wir nochmals genauer bei (H) ins Diagramm. Der Abstand von Des zu D ist kleiner als der zu C. Das ist auch bei den anderen erniedrigten Tönen so. Beim Fis ist es im Prinzip genau umgekehrt. Daraus können wir schließen, dass Erhöhen und Erniedirgen offensichtlich immer der kleinere Schritt ist (gelb und grün) – nämlich ein chromatischer Halbton, mal ein großer, mal ein kleiner.

Nach diesem Muster können wir jetzt auch die noch fehlenden Töne bestimmen. Bei (I) sind sie statt der bisherigen eingezeichnet (schwarz). Wir sehen jetzt: C# ist nicht das Gleiche wie Db, D# nicht das Gleiche wie Eb usw. Bei der kleinen Sekunde, der kleinen Septime und dem Tritonus fällt es nicht so sehr auf, wenn man z.B. ein Db statt eines C# spielt, weil die beiden Gegenstücke noch relativ nah beieinander sind und diese Intervalle sowieso schon recht disharmonisch klingen. Bei der kleinen Terz und der kleinen Sexte liegen erhöhten Töne D# und G# allerdings ganz woanders als Eb und Ab – und das ist auch deutlich hörbar (vergleiche mit den oben stehenden Hörproben).

   Cis, übermäßige Prime (vergl. kleine Sekunde)
   Dis, übermäßige Sekunde (vergl. kleine Terz)
   Gis, übermäßige Quinte (vergl. kleine Sexte)
   Ais, übermäßige Sexte (vergl. kleine Septime)

Auf einem Tasteninstrument konnte man damals diese Töne nur dann spielen, wenn es umgestimmt wurde. Man sagt, Bach habe für sein Klavier nur 15 Minuten gebraucht. Bei einer Pfeifenorgel kann das allerdings eine tagelange Prozedur werden.

Halten wir fest


Bei einer reinen Stimmung kann man nicht einfach die Tonart wechseln. Eine reine Stimmung ist immer nur für die Tonart rein, auf die sie gestimmt wurde. Dadurch, dass wir hier im Diagramm mit C begonnen haben, haben wir die reine Stimmung in C angewandt. Man kann etliche Instrumente aber auch auf einen beliebigen anderen Ton rein stimmen, z.B. ein Klavier. Bei vielen Blasinstrumenten geht das allerdings nicht, weil viele Töne durch Überblasen erzeugt werden und die dabei erzeugten Obertöne fest vorgegeben sind und nicht gestimmte werden können. Auch deshalb gibt es viele Blasinstrumente in verschiedenen Tonarten z.B. B-Trompeten und D-Trompeten (und noch einige andere).

Vielleicht fragst du dich noch, warum es zwei verschieden große chromatische Halbtöne gibt (gelb und grün) und außerdem einen noch größeren diatonischen Halbton (blau). Das liegt daran, dass die Abstände zwischen den zugrunde liegenden Obertönen eben nicht gleich groß sind. Eigentlich ist es schon erstaunlich, dass es nur drei verschieden große Halbtöne sind.